By Lars Michael Hoffmann
Für inhomogene Poissonprozesse mit konvexen Partikeln wird eine Klasse von Maßen auf der Einheitssphäre definiert. Nach geeigneter Normierung kann jedes dieser Maße als Verteilung der äußeren Normalen der Partikel des zugrundeliegenden Prozesses interpretiert werden. Wir benutzen diese Maße nun, um Stützfunktionen von Zonoiden zu definieren, deren innere Volumina dann als Dichten spezieller Schnittprozesse interpretiert werden können.
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Mk (K1 ∩ L, K2 , . . Kk ; B1 × · · · × Bk ). (j) ager in S1 × · · · × Sk liegt. ,mk (K1 , . . , Kk ; ·) ist ein endliches Maß auf (Rd )k , dessen Tr¨ Es gilt Si = Ki , falls mi = d und Si = bd Ki , falls mi < d ist, f¨ ur i = 1, . . , k. ,mk (K1 , . . , Kk ; ·) h¨ angt stetig von (K1 , . . , Kk ) ab. d) F¨ ur jede Permutation (i1 , . . , ik ) von (1, . . ,mk (K1 , . . , Kk ; B1 × . . ,mik (Ki1 , . . , Kik ; Bi1 × . . Bik ) e) Sind L1 , . . , Lk konvexe K¨ orper mit Bi ⊆ int Li f¨ ur i = 1, .
Dann gilt: Ist ϕ(z, ·) rotationsinvariant f¨ ur alle z ∈ R , so ist X schwach station¨ ar und schwach isotrop. Beweisidee: Aus der Stetigkeit von η folgt die Stetigkeit von γ. Desweiteren ist das rotationsinvariante Maß νk auf Ldk abgesehen von Multiplikation mit einer Konstanten eindeutig bestimmt. Also gilt ϕ(z, ·) = γ(z) νk (·) f¨ ur alle z ∈ Rd . Daraus ergibt sich ϕ(z, ·) ϕ(y, ·) = γ(z) γ(y) f¨ ur alle y, z ∈ Rd mit γ(z) > 0 und γ(y) > 0. Seien nun y, z ∈ Rd fest mit dieser Eigenschaft. Aus der Definition von ϕ(z, ·), der Stetigkeit von η und supp νk = Ldk folgt η(L + z) η(L + y)) = γ(z) γ(y) ur jedes n ∈ N finden sich nun ein L ∈ Ldk mit η(L+z) > 0 und ein yn ∈ (y + n1 B d ) f¨ ur alle L ∈ Ldk .
Kapitel 4 Verallgemeinerte lokale mittlere Normalenmaße Als erstes werden wir die verallgemeinerten mittleren Normalenmaße einf¨ uhren und ihre geometrische Bedeutung veranschaulichen. Danach sollen mit ihrer Hilfe Invarianzeigenschaften von Prozessen konvexer Partikel charakterisiert werden. Es sei daran erinnert, dass Θ als lokalendlich und vom Nullmaß verschieden vorausgesetzt ist. 1 Definitionen und Bezeichnungen Wir nennen einen Partikelprozess X translationsregul¨ ar, wenn sein Intensit¨atsmaß Θ von der Form Θ(A) = 1A (x + K)f (K, x) λd (dx) P0 (dK), A ∈ B(K ), K 0 Rd ist.